前置概念

Barie空间

定义：称拓扑空间\(E\)是一个 Baire 空间,若\(E\)中任意 、 可数多个 、 稠密  、 开集的交仍然在\(E\)中稠密。

稠密

设\(A,B\)为度量空间\(E\)中的集合，如果有\(\bar{B}= A\) ，则称\(B\)在\(A\)中稠密。（我们使用这种稠密的定义）

要证明下面定理，我们需要注意到稠密的一种等价表述为：如果\(A\)中任意开集与\(\bar{B}\)的交集非空，称\(B\)在\(A\)稠密。

Baire 空间的性质

定理

定理：设  \(E\)  是 Baire 空间, 则 (1)  \(E\)  的任意开子集也是一个 Baire 空间. (2) 设  \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 1}\)  是  \(E\)  的一列闭子集, 并且  \(E=\bigcup_{n \geqslant 1} F_{n}\) , 那么  \(\bigcup_{n \geqslant 1} \stackrel{\circ}{F}_{n}\)  在  \(E\)  中 稠密。

证明

Proof (1) 设 \(\Omega\) 是 \(E\) 中开集, \(\left(O_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是任意一列在 \(\Omega\) 中稠密的开子集. 由于 \(\Omega\) 是开集, 令

\[U_{n}=O_{n} \cup \bar{\Omega}^{c}\]

则 \(U_{n}\) 显然是 \(E\) 中开集, 且有 \[ \overline{U_{n}}=\overline{O_{n}} \cup \bar{\Omega}^{c}=\Omega\cup \bar{\Omega}^{c}=E \] 因此 \(\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是 \(E\) 的一列稠密开子集. 因 \(E\) 是 Baire 空间, \(\bigcap_{n \geqslant 1} U_{n}\) 依然在 \(E\) 中稠密. 而

\[\bigcap_{n \geqslant 1} U_{n}=\left(\bigcap_{n \geqslant 1} O_{n}\right) \cup \bar{\Omega}^{c}\]

由此推出 \(\bigcap_{n \geqslant 1} O_{n}\) 在 \(\Omega\) 中稠密。因为，如果不稠密，那么 \[\overline{\bigcap_{n \geqslant 1} U_{n}}=\overline{\left(\bigcap_{n \geqslant 1} O_{n}\right) }\cup \bar{\Omega}^{c}\neq E\] 即 \[ \overline{\left(\bigcap_{n \geqslant 1} O_{n}\right) }\neq \Omega \] 这与我们假设\(\left(O_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是任意一列在 \(\Omega\) 中稠密的开子集矛盾。

2. 任取 \(E\) 中非空开集 \(\Omega\), 则

\[\Omega=\Omega \cap E=\bigcup_{n \geqslant 1}\left(\Omega \cap F_{n}\right) \] 由于 \(F_{n}\) 是闭集, 则 \(\Omega \cap F_{n}\) 也是 \(\Omega\) 中闭集. 由 (1) 可知开集 \(\Omega\) 也是 Baire 空间, 那么必存在某个 \(n\), 使得 \(\left(\Omega \cap F_{n}\right)^{\circ} \neq \varnothing\). 注意此处的内部是关于 \(\Omega\) 上的拓扑取的. 但由于 \(\Omega\) 是 \(E\) 中开集, 则 \(\Omega \cap F_{n}\) 在 \(\Omega\) 中的内部也是其在 \(E\) 中的内部. 那 么 \(\Omega \cap F_{n}\) 在 \(E\) 中的内部也非空, 即有 \(\Omega \cap \stackrel{\circ}{F}_{n} \neq \varnothing\). 故 \(\bigcup_{n \geqslant 1} \stackrel{\circ}{F}_{n}\) 在 \(E\) 中稠密。