我们知道有界线性算子空间\(\mathcal{B}(E,F)\)是线性算子空间\(\mathcal{L}(E,F)\)的向量子空间，并且可以赋予范数， \[ ||u||=\sup_{x\in E}\frac{||u(x)||_F}{||x||_E} \] 成为赋范空间。下面定理说明的是，在什么样的条件下\(\mathcal{B}(E,F)\)可以成为Banach空间，也就是完备线性赋范空间。

定理

设\(E\)是赋范空间，\(F\)是Banach空间，则\(\mathcal{B}(E,F)\)也是Banach空间。

Proof 我们只证明\(\mathcal{B}(E,F)\)是完备的，即\(\mathcal{B}(E,F)\)上任意柯西列都收敛。

设\((u_n)\)是\(\mathcal{B}(E,F)\)中的柯西列，任意给定的\(x\in E\)，有， \[ ||u_m(x)-u_n(x)||_F=||(u_m-u_n)(x)||_F\leq||u_m-u_n||\cdot||x||_E \] \((u_n)\)是\(\mathcal{B}(E,F)\)中的柯西列，故\(m,n\)充分大时， \[ ||u_m-u_n||\to 0 \] 于是可知\((u_n(x))\)是\(F\)中的柯西列，由于\(F\)是Banach空间，\((u_n(x))\)是收敛的，记其极限为\(u(x)\)。 由此此我们可以定义一个映射， \[ u:E\to F \] 下面需要说明的是，这个新定义的映射也是有界线性算子，即\(u\in\mathcal{B}(E,F)\)。 （1）线性，这是容易的。 \[ u(\lambda x+y)=\lim_{n\to\infty}u_n(\lambda x+y))=\lim_{n\to\infty}\lambda u_n(x)+u_n(y)=\lambda u(x)+u(y) \] （2）有界，对于 \[ ||u(x)||_F\leq||u||\cdot||x||_E=||\lim_{n\to\infty}u_n||\cdot||x||_E \] 由范数连续性 \[ ||\lim_{n\to\infty}u_n||\cdot||x||_E=\lim_{n\to\infty}||u_n||\cdot||x||_E \] 因为\((u_n)\)是\(\mathcal{B}(E,F)\)中的柯西列，必有界，故存在\(M\)，使得 \[ ||\lim_{n\to\infty}u_n||\cdot||x||_E=\lim_{n\to\infty}||u_n||\cdot||x||_E\leq M||x||_E\ \] 于是 \[ ||u(x)||_F\leq M||x||_E \] 故\(u\)是有界的。

至此我们知道，\(u\in\mathcal{B}(E,F)\)。

最后说明，\((u_n)\)是收敛到\(u\)的。（是依照有界线性算子空间中的范数收敛） 前面我们得出了对\(\forall x\in E\)，有， \[ ||u_m(x)-u_n(x)||_F\leq||u_m-u_n||\cdot||x||_E \] 对\(\forall\epsilon>0,\exists N\)当\(m,n>N\)时， \[ ||u_m-u_n||\leq\epsilon \] 所以 \[ ||u_m(x)-u_n(x)||_F\leq||u_m-u_n||\cdot||x||_E\leq\epsilon||x||_E \] 令\(m\to\infty\)且有范数连续性得， \[ ||u(x)-u_n(x)||_F\leq\epsilon||x||_E \] 于是由范数定义， \[ ||u-u_n||=\sup_{x\in E}\frac{||u(x)-u_n(x)||_F}{||x||_E}\leq\epsilon \] 故\(\mathcal{B}(E,F)\)中有\(u_n\to u\)。综上，\(\mathcal{B}(E,F)\)是一个Banach空间。