命题

所有多项式构成的空间不能赋予完备范数。

证明

为此，我们需要先证明一个引理。

设\(E\)是赋范空间，\(F\)是\(E\)的向量子空间。若\(F\neq E\)，则\(F\)在\(E\)的内部是空集。

Proof 因为\(F\neq E\)，所以\(\exists x'\in E\backslash F\) ，假设\(\mathring{F}\neq\varnothing\)，那么\(\exists x_0\in F,s.t. B(x_0,r)\subset F\) , 由于\(F\)是向量子空间，有 \[ B(x_0,r)\subset F\Leftrightarrow x_0\in F,B(0,r)\subset F \] 注意到 \[ \frac{r}{2}\frac{x'}{||x'||}\in B(0,r)\subset F \] 又因为\(F\)是向量子空间，所以应有\(x'\in F\)，但这与\(x'\in E\backslash F\)矛盾。

下面来证明今日份的命题： 所有多项式构成的空间不能赋予完备范数。

Proof 记\(P\)为所有多项式构成的空间，\(P_n\)为最高次数不超过\(n\)的多项式的全体构成的空间。 显然\(P_n\)是\(P\)的向量子空间，且 \[ P=\bigcup_{n\geq 1}P_n \] 因\(P_n\)是有限维的，所以\(P_n\)是完备的，完备子空间是闭的。 现假设\(P\)是可以赋予完备范数的Banach空间。 由于Banach 空间一定是Baire 空间，因此， \[ \bigcup_{n\geq 1}\mathring{P_n} \] 在\(P\)中稠密。但是由前边的引理知， \[ \forall n\geq 1,\mathring{P_n}=\varnothing\Rightarrow \bigcup_{n\geq 1}\mathring{P_n}=\varnothing \] 空集不可能在\(P\)中稠密，故假设不成立，即所有多项式构成的空间不能赋予完备范数。

证明过程中用到的结论

• 有限维赋范空间都是完备的
• 完备子空间是闭集
• 完备度量空间（Banach空间）是Baire空间
• Baire空间的性质： 设 \(E\) 是 Baire 空间, \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是 \(E\) 的一列闭子集, 并且 \(E=\bigcup_{n \geqslant 1} F_{n}\) , 那么 \(\bigcup_{n \geqslant 1} \stackrel{\circ}{F}_{n}\) 在 \(E\) 中 稠密。