前置知识

• 有界线性算子全体：\(\mathcal{B}(E,F)\)
• 有界线性泛函全体：\(\mathcal{B}(E,\mathbb{K})\)
• 赋范空间是度量空间
• 度量空间中的闭集当且仅当集合包含集合中所以收敛序列的极限值。
• Hilbert空间是完备的内积空间（其内积可以诱导范数，其诱导的范数是完备的）。

今日定理

（Riesz）设\(H\)是数域\(\mathbb{K}\)上的 Hilbert 空间，那么 \[ \varphi\in\mathcal{B}(H,\mathbb{K})=H^*\Longleftrightarrow\exists !\ y_{\varphi}\in H,s.t.\ \varphi(x)=\left<x, y_{\varphi}\right>\quad \forall x\in H \] 且\(||\varphi||_{H^*}=||y_{\varphi}||_H\)

定理证明

Proof (\(\Leftarrow\))设\(y_{\varphi}\in H\)，定义\(\varphi_y:H\to\mathbb{K},\varphi_y(x)=\left<x, y_{\varphi}\right>\) 由于内积的线性性，可知这样定义的映射是线性泛函。

由Cauchy-Schwartz不等式，有， \[ |\varphi_y(x)|=|\left<x, y_{\varphi}\right>|\leq||x||\cdot||y_{\varphi}||,\forall x\in H \] 因此\(\varphi_y\)是连续的（有界的），且\(||\varphi_y||\leq||y_{\varphi}||\)。 如果\(y_\varphi=0\)，那么显然有\(\varphi_y(x)=0\)，于是\(||y_{\varphi}||=||\varphi_y||=0\)。 如果\(y_\varphi\neq0\)，那么取\(x=\frac{ y_{\varphi}}{|| y_{\varphi}||}\)，就有 \[ |\varphi_y(x)|=|\varphi_y(\frac{ y_{\varphi}}{|| y_{\varphi}||})|=|\left<\frac{ y_{\varphi}}{|| y_{\varphi}||}, y_{\varphi}\right>|=|| y_{\varphi}|| \] 从而仍然有， \[ ||\varphi_y||=\sup_{||x||=1}|\varphi_y(x)|=|\varphi_y(x)|=|| y_{\varphi}|| \] (\(\Rightarrow\))设\(\varphi\in H^*\)，即\(\varphi\)是一个连续线性泛函。记\(E=\ker(\varphi)\) 是\(\varphi\)的零子空间（核空间）。 由\(\varphi\)的连续性，可知\(E\)是\(H\)的闭子空间。这是因为，如果序列\((x_n)_{n\leq 1}\subset E\)是收敛的，设其收敛于\(x\)， 于是由\(\varphi\)的连续性\(\varphi(x)=\varphi(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}\varphi(x_n)=0\)，故\(x\in E\)，所以\(E\)是闭的。

现在我们将\(H\)空间正交分解， \[ H=E\oplus E^{\bot} \] 若\(\varphi=0\)即为零映射，那么取\(y_\varphi=0\)即可满足定理。 若\(\varphi\neq0\)，那么此时\(E\neq H\)，于是可取\(0\neq e\in E^{\bot}\),且\(\varphi(e)=1\)，那么， \[ x=[x-\varphi(x)e]+\varphi(x)e,\quad \forall x\in H \] 记\(x'=[x-\varphi(x)e]\)，则可看出\(\varphi(x')=0\),即\(x'\in E\)，那么， \[ \left<x, e\right>=\left<x'+\varphi(x)e, e\right>=\varphi(x)\left<e, e\right> \] 可得， \[ \varphi(x)=\left<x,\frac{e}{||e||^2}\right> \] 这时取\(y_{\varphi}=\frac{e}{||e||^2}\)即有， \[ \varphi(x)=\left<x, y_{\varphi}\right>,\forall x\in H \] 此时\(\varphi\)就是充分性证明中的\(\varphi_y\)，因此\(||\varphi_y||=|| y_{\varphi}||\)。

唯一性证明是容易的，假设还有\(y'\in H\)满足， \[ \varphi_y(x)=\left<x, y'\right>,\forall x\in H \] 那么， \[ 0=\varphi(x)-\varphi(x)=\left<x, y_{\varphi}\right>-\left<x, y'\right>,\forall x\in H \] \[ \left<x, y_{\varphi}-y'\right>=0,\forall x\in E \] 因此\(y_{\varphi}-y'=0\)，唯一性得证。

补充

Riesz 表示定理的结论表明我们可把 \(H^{*}\) 和 \(H\) 在等距意义下看 成同一个空间, 即 \[ y \in H \Longleftrightarrow \varphi_{y} \in H^{*} \] 且 \(\left\|\varphi_{y}\right\|=\|y\|\). 另外容易验证映射 \(\Phi: H \rightarrow H^{*}, y \mapsto \varphi_{y}\) 满足 - \(\Phi\left(y+y^{\prime}\right)=\varphi_{y}+\varphi_{y^{\prime}}\). - 当 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) 时, 任取 \(\lambda \in \mathbb{R}\), 有 \(\Phi(\lambda y)=\lambda \varphi_{y}\); 当 \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\) 时, 任取 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 有 \(\Phi(\lambda y)=\bar{\lambda} \varphi_{y}\). 这意味着映射 \(\Phi\) 在 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) 时是线性的, 而在 \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\) 时是共轭线性的.