前置知识

虽然标题的逆算子应该有更广泛的定义，但是今天分享所指的逆算子实际上是限制在线性空间中的线性算子。

逆算子

我们先定义"逆算子"，设\(T\)是线性空间\(E\)到\(F\)的线性算子，（定义域\(\mathscr{D}(T)\subset E\)，值域\(\mathscr{R}(T)\subset F\)） \[ T:\mathscr{D}(T)\to \mathscr{R}(T) \] 如果有\(T':\mathscr{R}(T)\to \mathscr{D}(T)\)满足， \[ T'T=I_E,\quad TT'=I_F \] \(I_E,I_F\)分别表示\(E,F\)上的恒等映射，那么称\(T\)可逆，有逆算子\(T'\)，可记为\(T^{-1}\)。

逆算子存在的充要条件

逆算子存在的充要条件是：\(T\)是单射(或者说是"一对一的"） 即，\(\forall x\neq y\in E\Rightarrow Tx\neq Ty\) 等价于，\(Tx=0\Rightarrow x=0\)

逆算子的一般性质

1. 逆算子如果存在，那么就是唯一的
2. 我们定义的逆算子是线性算子，它的逆算子也是线性算子
3. 逆算子的逆就是原来的算子（\((T^{-1})^{-1}=T\)）

今日定理

我们想要解决的问题是：赋范空间中的线性算子，在什么样的条件下存在着连续（或者说有界）的逆算子？

定理：设\(T\)是赋范空间\(E\)到赋范空间\(F\)的线性算子，那么 \[ \exists m>0,s.t.\ ||Tx||\geq m||x||\Longleftrightarrow T^{-1}\text{存在且有界} \]

定理证明

Proof \(\Rightarrow\) 分两步，先证明逆算子的存在性，然后证明逆算子是有界的（连续的）。 设\(Tx_1=Tx_2\)，那么\(T(x_1-x_2)=0\)，由必要性假设， \[ \exists m>0\quad 0=||T(x_1-x_2)||\geq m||x_1-x_2|| \] 那么， \[ ||x_1-x_2||=0 \] 由范数的正定性知，\(x_1-x_2=0\)，所以\(x_1=x_2\)。

然后证明逆算子是有界的。注意到， \[ ||x||=||T(T^{-1}(x))||\geq m||T^{-1}(x)|| \] 就有， \[ \frac{1}{m}||x||\geq ||T^{-1}(x)|| \] 由线性算子空间的范数定义知， \[ ||T^{-1}||=\sup\frac{||T^{-1}(x)||}{||x||}\leq \frac{1}{m} \] 故逆算子是有界的。

\(\Leftarrow\) 如果逆算子都存在且有界，我们要证明， \[ \exists m>0\quad 0=||T(x)||\geq m||x|| \] 这件事情。我们可以用反证法。

假设上面的事情不成立。即 \[ \forall m>0\quad ||T(x)||<m||x|| \] 那么我们可以取\(n\)为正整数，\((x_n)\)满足 \[ ||T(x_n)||<\frac{1}{n}||x_n|| \] 由于逆算子都存在，所以对每个\(x_n\)，存在 \[ x_n=T^{-1}(y_n) \] 那么， \[ ||T(T^{-1}(y_n))||<\frac{1}{n}||T^{-1}(y_n)|| \] \[ n||y_n||<||T^{-1}(y_n)|| \] 即\(T^{-1}\)不是有界算子，矛盾。

补充

注意定理中，我们没有要求原来的\(T\)是有界的线性算子，只要\(T\)满足条件（有的书称作下方有界）， \[ \exists m>0\quad 0=||T(x)||\geq m||x|| \] 那么它就有有界的逆算子。