前置知识

有界线性算子的全体可以构成一个线性空间（或者说向量空间）。

定义 \[ ||u||=\sup_{x\in E,x\neq0}\frac{||u(x)||_F}{||x||_E} \] 容易验证，这样定义的\(||u||\)是有界线性算子空间\(\mathcal{B}(E,F)\)上的范数。即满足非负、正定，正齐次以及三角不等式。

今日定理

设\(u\)是属于\(\mathcal{B}(E,F)\)的，那么 \[ ||u||=\sup_{x\in E,||x||\leq1}||u(x)||_F=\sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F \]

定理证明

Proof 一方面， \[ ||u||=\sup_{x\in E,x\neq0}\frac{||u(x)||_F}{||x||_E}\geq\sup_{x\in E,x\neq0,||x||\leq1}\frac{||u(x)||_F}{||x||_E}\geq\sup_{x\in E,x\neq0,||x||\leq1}||u(x)||_F=\sup_{x\in E,||x||\leq1}||u(x)||_F\geq\sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F \] 另一方面，对任意\(y\in E\), \[ e=\frac{y}{||y||},||e||=1 \] \[ ||u(\frac{y}{||y||})||=||u(e)||\leq \sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F \] 取上确界，有线性映射的线性性得, \[ \sup_{y\in E,y\neq0}||u(\frac{y}{||y||})||=\sup_{y\in E,y\neq0}\frac{||u(y)||}{||y||}=||u||\leq \sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F \]

综上，有 \[ ||u||\leq \sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F\leq \sup_{x\in E,||x||\leq1}||u(x)||_F \] \[ ||u||\geq\sup_{x\in E,||x||\leq1}||u(x)||_F\geq\sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F \] 即， \[ ||u||=\sup_{x\in E,||x||\leq1}||u(x)||_F=\sup_{x\in E,||x||=1}||u(x)||_F \] ## 补充 下面补充的都是可以用定义推得的。

设\(E^*\)是\(E\)的对偶，\(F^*\)是\(F\)的对偶，\(u^*\)是\(u\)的共轭，\(f^*\in F^*\)， \[ ||u^*(f^*)||_{E^*}=||f^*\circ u||_{E^*}\leq||f^*||_{F^*}||u||_{\mathcal{B}(E,F)} \] 不出现歧义的情况上面的式子就可以写成， \[ ||u^*(f^*)||\leq||f^*||||u|| \] （这样写，是不是就有点摸不着头脑了XD）

设\(u\in \mathcal{B}(E)\),那么， \[ ||u^2||=||u\circ u||\leq||u||\cdot||u||=||u||^2 \] 更一般的，有， \[ ||u^n||\leq ||u||^n \]