前置概念

1. 线性映射的有界性等价于连续性。23.5.29 有界线性算子的基本性质
2. 范数等价的定义：设\(q,p\)为向量空间\(E\)上的两个范数，如果存在常数\(m,M>0\)，使得 \[ mq(x)\leq p(X)\leq Mq(x),\ \forall x\in E \] 则称范数\(q,p\)等价。

记号： - 线性算子全体：\(\mathcal{L}(E,F)\) - 有界线性算子全体：\(\mathcal{B}(E,F)\) - 数域\(\mathbb{K}=\mathbb{R}\ or\ \mathbb{C}\) - 无穷范数 \[ ||x||_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}|x_i| \] ## 定理

设\(E\)是有限维的赋范空间，\(F\)是任意赋范空间，那么由\(E\)到\(F\)的任意线性映射都是连续的。 即，\(\mathcal{L}(E,F)=\mathcal{B}(E,F)\)

证明

Proof 设\(e_1,\cdots,e_n\)为\(E\)的一组基，那么任意\(x\in E\)，有， \[ x=\sum_{i=1}^nx_ie_i,\quad x_i\in\mathbb{K} \] 设\(u\in\mathcal{L}(E,F)\)， \[ ||u(x)||_F\leq\sum_{i=1}^{n}|x_i|\cdot||u(e_i)||_F\leq\max_{1\leq i\leq n}|x_i|(\sum_{i=1}^{n}||u(e_i)||_F)=||x||_{\infty}(\sum_{i=1}^{n}||u(e_i)||_F) \] 由于有限维向量空间上任意范数等价的，故存在某个常数\(C>0\)使得， \[ ||u(x)||_F\leq||x||_{\infty}(\sum_{i=1}^{n}||u(e_i)||_F)\leq C||x||_E(\sum_{i=1}^{n}||u(e_i)||_F) \] 这就表明了，\(u\)是有界线性映射，故连续。

补充点没什么关系的

容易\(u(E)\)是\(F\)的闭向量子空间。这是因为\(E\)是有限维的，\(u\)线性，所以\(u(x)\)是有限维的向量空间，有限维向量空间一定是完备的，完备的子空间是闭的。