前置概念

Barie空间

定义：称拓扑空间\(E\)是一个 Baire 空间,若\(E\)中任意 、 可数多个 、 稠密 、 开集的交仍然在\(E\)中稠密。

Barie定理

定理(Baire)：设 \((E, d)\) 是完备度量空间, \(\left(O_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是一列在 \(E\) 中 稠密的开子集, 则 \(O=\bigcap_{n \geqslant 1} O_{n}\) 在 \(E\) 中稠密. 换句话说就是，完备度量空间是第二纲的。

定理：局部紧的 Hausdorff 空间是 Baire 空间. 定理：设 \(E\) 是 Baire 空间, 则 (1) \(E\) 的任意开子集也是一个 Baire 空间. (2) 设 \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是 \(E\) 的一列闭子集, 并且 \(E=\bigcup_{n \geqslant 1} F_{n}\) , 那么 \(\bigcup_{n \geqslant 1} \stackrel{\circ}{F}_{n}\) 在 \(E\) 中 稠密。

第一纲集（贫集、疏集）

设 \(E\) 是拓扑空间. (1) 称 \(E\) 中可数多个开子集的交集为 \(\mathcal{G}_{\delta}\) 集, 称 \(E\) 中可数多个闭子集的并集 为 \(\mathcal{F}_{\sigma}\) 集. (2) 称 \(A \subset E\) 为贫集 (或第一纲集), 若 \(A\) 为某个无内点的 \(\mathcal{F}_{\sigma}\) 集的子集; 称 \(A \subset E\) 为剩余集（第二纲集）, 若 \(A\) 包含一个稠密的 \(\mathcal{G}_{\delta}\) 集.

注： (1) \(A\) 是 \(\mathcal{G}_{\delta}\) 集等价于 \(A^{c}\) 是 \(\mathcal{F}_{\sigma}\) 集. (2) \(A\) 是贫集等价于 \(A^{c}\) 是剩余集, 这是因为集合 \(A\) 是稠密的当且仅当 \(A^{c}\) 无内点, 从而 \(A\) 是稠密的 \(\mathcal{G}_{\delta}\) 集当且仅当 \(A^{c}\) 是无内点的 \(\mathcal{F}_{\sigma}\) 集. (3) 设 \(E\) 是 Baire 空间, 则 \(E\) 中可数多个贫集的并集仍然是贫集; 可数多个剩余集的交仍然是剩余集. (4) 贫集和剩余集的概念描述了子集的大小. 如果和测度论中的概念相比较, 我们可以把贫集对应着零测度集, 剩余集对应于与全集几乎处处相等的集合, 它们的性质极为类似.

今日份的定理

在\(C[0,1]\)中处处不可微的函数集合\(E\)是非空的，并且E的余集是第一纲集（贫集）。

Proof 取 \(\mathcal{H}=C[0,1]\), 设 \(A_{n}\) 表示 \(\mathcal{H}\) 中特定元素 \(f\) 的集合，如下： \[ A_n=\{f\in \mathcal{H}:\left|\frac{f(s+h)-f(s)}{h}\right| \leqslant n,\exists s\in [0,1],\forall |h|\leq\frac{1}{n},s+h\in [0,1] \} \] 从\(A_n\)的构造我们可以知道，若 \(f\) 在某个点 \(s\) 处可微, 则必有正整数 \(n\), 使得 \(f \in A_{n}\), 于是 \[ \mathcal{H} \backslash E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \] 下面我们证明每个 \(A_{n}\) 是贫集，为此先证 \(A_{n}\) 是闭的。为此，我们去证明其补集是开的。

事实上, 若 \(f \in \mathscr{X} \backslash A_{n}\), 则 \(\forall s \in[0,1], \exists |h_{s}|\leqslant \frac{1}{n}\), 使得 \[ \left|f\left(s+h_{s}\right)-f(s)\right|>n\left|h_{s}\right| \] 又由 \(f\) 的连续性, \(\exists \varepsilon_{s}>0\), 以及 \(s\) 的某个适当的邻域 \(J_{s}\), 使得对 \(\forall \sigma \in J_{s}\), 有 \[ \left|f\left(\sigma+h_{s}\right)-f(\sigma)\right|>n\left|h_{s}\right|+2 \varepsilon_{s} \] 根据有限覆盖定理, 可设 \(J_{s_{1}}, J_{s_{2}}, \cdots, J_{s_{m}}\) 覆盖 \([0,1]\), 并设 \[ \varepsilon=\min \left\{\varepsilon_{s_{1}}, \varepsilon_{s_{2}}, \cdots, \varepsilon_{s_{m}}\right\} \] 若 \(g \in \mathcal{H}\) 适合 \(\|g-f\|<\varepsilon\), 则由 \[ \left|f\left(\sigma+h_{s}\right)-f(\sigma)\right|>n\left|h_{s}\right|+2 \varepsilon_{s} \] 对 \(\forall \sigma \in J_{s_{k}}(k=\) \(1,2, \cdots, m\) ) 有 \[ \left|g\left(\sigma+h_{s_{k}}\right)-g(\sigma)\right| \geqslant\left|f\left(\sigma+h_{s_{k}}\right)-f(\sigma)\right|-2 \varepsilon>n\left|h_{s_{k}}\right| \] 于是证明了 \(\mathcal{H} \backslash A_{n}\) 是开集，从而 \(A_{n}\) 是闭集。

再证 \(A_{n}\) 没有内点。 \(\forall f \in A_{n}, \forall \varepsilon>0\), 由 Weierstrass 逼近定理, 存在多项式 \(p\), 使得 \[ \|f-p\|<\frac{\varepsilon}{2} \] 由于\(p\) 的导数在 \([0,1]\) 上是有界的, 因此根据中值定理, \(\exists M>0\), 使得 对 \(\forall s \in[0,1]\) 及 \(|h|<1 / n\), 成立 \[ |p(s+h)-p(s)| \leqslant M|h| \] 设 \(g(s) \in C[0,1]\) 是一个分段线性函数, 满足 \(\|g\|<\varepsilon / 2\). 并且各条线段斜率的绝对值都大于 \(M+n\), 那么 \[ p+g \in B(f, \varepsilon), \text { 而 } p+g \bar{\epsilon} A_{n} \] 这样, 我们证明了每个 \(A_{n}\) 是贫集, 从而 \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\) 是第一纲集。而 \(\mathcal{H}\) 是完备的, 由 Baire 定理 \(\mathcal{H}\) 是第二纲集, 由此根据 \[ \mathcal{H} \backslash E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \] 可知\(E\) 也是第二纲集。