定理回顾

23.5.25 压缩映射的不动点

定理内容 设\((E,d)\)是完备的度量空间，\(f:E\to E\)是压缩映射，则\(f\)有唯一的不动点，即 \[ f(x)=x,\quad\exists ! x\in E \] 注：\(\quad\exists !\) 表示"存在唯一的"

讨论

（1）压缩映射的条件能不能去掉或改变。

压缩映射的定义就是指满足：\(\exists\lambda <1,\forall x,y\in E\),总有
\[ d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y) \] 的映射\(f\)，称为压缩映射。

如果映射\(f\)只满足， \[ d(f(x),f(y))< d(x,y) \] 或者说\(\lambda = 1\)且把\(\leq\)换做＜时，压缩映射定理能不能成立？这样的改动看似变化不大，毕竟 "小于1"和"小于等于一个小于1的常数"，这两件事给我们的感觉是有点相似的。但是这里还是有些区别。

问题的答案是不能做这样的变动。因为有如下面的反例： \[ f(x)=x^2+1,\ \forall x\in(0,1) \] \[ f(x)=\sqrt{x^2+1},\ \forall x\in(0,\infty) \] 它们都满足我们改变后的条件，但是显然在各自的定义域内找不到一点使得\(f(x)=x\)。

（2）能不能再加上什么限制，减弱的条件也能有类似的结果呢？

这是可以的。如果\((E,d)\)是紧的度量空间，那么压缩映射的条件就可以减弱为， \[ d(f(x),f(y))< d(x,y)\quad \forall x\neq y,\ x,y\in E \]

Proof 设\(g(x)=d(x,f(x))\)，因为\(f\)和\(d\)都是连续映射，故\(g\)也连续。由于\(E\)紧的，所以\(g(E)\)紧。 于是在紧空间上的连续函数可以取得最小值，记作\(\lambda\) 。

我们假设取得最小值时\(\lambda>0\)，也就是此时仍是\(d(x_{min},f(x_{min})>0\)，也就是说， \[ x_{\min}\neq f(x_{min}) \] 实际上我们就是在假设不动点不存在。

那么， \[ d(f(x_{min},f^2(x_{min})))<d(x_{min},f(x_{min}))=\lambda \] 这与\(\lambda\)是\(g\)的最小值矛盾，因为我们发现在假设下， \[ g(f(x_{min}))<g(x_{min}) \] 于是假设不成立。故$。（注意距离函数d是非负的）

不动点的唯一性的证明就容易了。 假设存在两个不动点\(x,y\)，那么 \[ d(f(x),f(y))=d(x,y) \] 与 \[ d(f(x),f(y))< d(x,y)\quad \forall x\neq y,\ x,y\in E \] 矛盾。

（3）设\((E,d)\)是完备的度量空间，如果\(f,g\)是可交换的压缩映射，这两个映射有相同唯一的不动点。

\(f,g\)是可交换，是指\(fg=gf\)。证明是容易的。因为设\(f(x_0)=x_0\) \[ g(x_0)=g(f(x_0))=f(g(x_0)) \] 所以\(g(x_0)\)是\(f\)的不动点。由于不动点是唯一的，所以 \[ g(x_0)=x_0 \] 现在我们如果把可交换的条件去掉会怎么样？ 此时，两个映射的不动点没有必然联系，可以相同可以不同。 比如取， \[ f\equiv 1,g\equiv0 \] \[ f(x)=(x-1)^2+1,g(x)=x^2,x\in(0,\infty) \] 上面的两个不可换有不同的不动点，下面的不可换但有相同不动点。