定义

稠密

设\(A,B\)为度量空间\(E\)中的集合，如果有\(\bar{B}\supset A\) ，则称\(B\)在\(A\)中稠密。

注意：有的教材上对稠密的定义为\(\bar{B}=A\)，但我们使用上面的定义。另外，定义中没有要求B一定是A的子集。

用\(\epsilon-\delta\)语言描述， \[ \forall x\in A,\bar{B}\supset A\Rightarrow x\in\bar{B}\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists Ball(x,\epsilon)\cap B\neq\varnothing \] \[ \exists y\in B,d(x,y)<\epsilon \] 也就是说，\(A\)中任意点都可以用\(B\)中的点列逼近。

例子：有理数集在实数集中稠密，无理数集也在实数集中稠密。 有理数集在无理数集中稠密，反之一样，但注意这两个集合的交集是空集。

可分

设度量空间\(E\)，如果\(E\)存在一个稠密的子集并且这个子集的元素个数是可数的，则称该度量空间是可分的。

定理：度量空间\(E\)可分，当且仅当\(E\)中存在一个可数列，序列中的元素与\(E\)中任意元素的距离可以任意小。

常见度量空间的可分性判定

（1）高维实数空间\(\mathbb{R}^n\)是可分的。 因为有理数集\(\mathbb{Q}^n\)是可数的，且在\(\mathbb{R}^n\)中稠密，故\(\mathbb{R}^n\)可分。

（2）区间上连续函数的全体\(C[a,b]\)可分。 连续函数可以用多项式逼近（Weierestrass定理），多项式可以用有理多项式逼近，有理多项式的全体是可数的。

（3）空间\(l^{\infty}=\{x=(x_1,\cdots,x_n,\cdots|\max{|x_i|}\leq c_x)\}\)不可分 反证法。