紧性的定义

紧性，是很多数学学科中的基础概念，出现频率特别高。分析学中一些基本定理的成立，本质上是因为其拓扑的紧性。

简单地说，“紧的”指的就是任意开覆盖都有有限子覆盖，数学专业的学生应该在学习实数系的基本定理的时候就接触过这个概念，什么是覆盖，什么是开覆盖，什么是有限覆盖定理。有限覆盖定理揭示了闭区间的一个本质属性也就是“紧致性”（简称为紧性）。

紧性是一种拓扑概念，一个集合是不是紧的依赖其所在空间的拓扑结构，下面是紧性的定义:

设 \(E\) 是拓扑空间. (1) 若 \(E\) 上的开集族 \(\left(O_{i}\right)_{i \in I}\) 满足 \(E=\bigcup_{i \in I} O_{i}\), 则称 \(\left(O_{i}\right)_{i \in I}\) 是 \(E\) 的开覆盖. (2) 若 \(E\) 的任意一个开覆盖 \(\left(O_{i}\right)_{i \in I}\) 中都可取出有限个子集覆盖, 则称 \(E\) 是 紧的 (也就是说, 存在 \(I\) 的有限子集 \(J\), 使得 \(\bigcup_{i \in J} O_{i}=E\) ).

紧性的刻画

在度量空间中，紧性有着更加丰富的刻画，特别是可以同序列来刻画紧性。

今晚介绍的度量空间中的紧性刻画定理，是在泛函分析中经常使用到的，提到紧性要能够很自然的想起这几种紧性的刻画。（当然要限定在度量空间中使用）

紧性刻画定理 设 \((E, d)\) 是度量空间, 则下面的命题等价: (1) \((E, d)\) 是紧空间. (2) 任一 \(E\) 中的无限子集必有凝聚点 (称这样的 \(E\) 是列紧的). (3) 任一 \(E\) 中的序列有收敛的子列 (称这样的 \(E\) 是序列紧的). (4) \((E, d)\) 是完备的且预紧的 (预紧性是指: 对任意 \(\varepsilon>0, E\) 可被有限个以 \(\varepsilon\) 为半径的开球覆盖).

Proof \((1)\Rightarrow(2)\) 反证法。假设\(E\)中有无限集\(F\)没有凝聚点，即 \[ \forall x\in E,\exists\ open\ ball\ B(x,\epsilon_x),\ s.t.B(x,\epsilon_x)\cap (F\backslash\{x\})=\emptyset \] 显然， \[ E=\bigcup_{x \in E} B(x,\epsilon_x) \] 即\(\bigcup_{x \in E} B(x,\epsilon_x)\)是\(E\)的开覆盖，又 \((E, d)\) 是紧空间，则由紧性的定义，可取出有限个子集覆盖，记成 \[ \bigcup_{1\leq k\leq n} B(x_k,\epsilon_k)=E \] 注意， \[ \begin{aligned} &B(x,\epsilon_x)\cap F=\{x\}&x\in F\\ &B(x,\epsilon_x)\cap F=\emptyset&x\notin F \end{aligned} \] 因此， \[ \bigcup_{1\leq k\leq n} B(x_k,\epsilon_k) \] 最多只能包含\(F\)中的\(n\)个点，而 \[ F\subset E=\bigcup_{1\leq k\leq n} B(x_k,\epsilon_k) \] 即\(F\)是\(\bigcup_{1\leq k\leq n} B(x_k,\epsilon_k)\)的子集（应该包含\(F\)的全部点，也就是说应该包含无限个点），这与\(F\)是无限集矛盾。

\((2)\Rightarrow(3)\) 设无限序列\((x_n)\in E\)。若序列中只有有限个不同的值，则容易取出收敛子列。若序列是无限个不同的值，则由” 任一 \(E\) 中的无限子集必有凝聚点“，知序列有凝聚点，由凝聚点的定义容易取出一收敛子列。

设序列有凝聚点\(x\)，任取开球\(B(x,\frac{1}{k})\), 都有 \[ (B(x,\frac{1}{k}) \cap (x_n)) \backslash\{x\} \neq \varnothing \] 在上面的集合中取一点\(x_{n_k}\)，且\(x_{n_k}\neq x_{n_{k-1}}\)，如此就得到了一收敛子列。

\((3)\Rightarrow(4)\) 任取\(E\)中柯西列\((x_n)\)，由” 任一 \(E\) 中的序列有收敛的子列“，可知柯西列\((x_n)\)有收敛子列，那么这个柯西列就是收敛的（柯西列的简单性质）。故空间\(E\)是完备的。下面证明预紧性。

假设\(E\)不是预紧的，即存在 \(\varepsilon'>0, E\) 不可被有限个以 \(\varepsilon'\) 为半径的开球覆盖。此时任取\(x_1\)，必有\(E\subsetneq B(x_1,\epsilon')\) ，任取\(x_2\in E\backslash B(x_1,\epsilon')\)，有\(E\subsetneq (B(x_1,\epsilon')\cup B(x_2,\epsilon'))\) 。如此反复可得一无穷序列\((x_n)\)，且这个序列的任意两个元素间的距离（或者说度量） \[ d(x_n,x_m)\geq \epsilon' \quad \forall n\neq m \] 那么这个序列不存在收敛子列，矛盾，E是预紧的。

\((4)\Rightarrow(3)\) \((E, d)\) 是完备的且预紧的。因为\(E\)是完备的，要说明任一 \(E\) 中的序列有收敛的子列，我们只要说明任一 \(E\) 中的序列有柯西子列。 首先取 \(\varepsilon_{1}=\frac{1}{2}\), 由于 \(E\) 是预紧空间, 故存在有限子集 \(F \subset E\), 使得 \(E=\) \(\bigcup_{x \in F} B\left(x, \varepsilon_{1}\right)\), 则无穷序列 \(\left(x_{n}\right)\) 必有一个无穷子序列包含于某个开球 \(B\left(x, \varepsilon_{1}\right)\). 我 们记该子序列为 \(\left(x_{1_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\); 再令 \(\varepsilon_{2}=\frac{1}{2^{2}}\), 则又有 \(\left(x_{1_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\) 的无穷子列 \(\left(x_{2_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\) 包 含于某个以 \(\varepsilon_{2}\) 为半径的开球中; 依此类推, 对任一个整数 \(n \in \mathbb{N}^{*}\), 取 \(\varepsilon_{n}=\frac{1}{2^{n}}\), 可以给出一个无穷序列 \(\left(x_{n_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\), 它是 \(\left(x_{(n-1)_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\) 的子序列, 并且满足: 对任意 \(i, j \geqslant 1\), 有 \[ d\left(x_{n_{i}}, x_{n_{j}}\right)<\frac{1}{2^{n-1}} \] 接下来运用 “对角线选择法”, 可以得到 \(\left(x_{n}\right)\) 的子列 \(\left(x_{i_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\), 该序列满足: 当 \(i, j \geqslant n\) 时, \(d\left(x_{i_{i}}, x_{j_{j}}\right)<\frac{1}{2^{n-1}}\). 故 \(\left(x_{i_{i}}\right)_{i \geqslant 1}\) 是 \(\left(x_{n}\right)\) 的一个 Cauchy 子序列。