定义

线性映射

设\(E,F\)为数域\(\mathbb{K}\)上的两个向量空间，若映射\(u\) \[ \begin{aligned} u:&E\to F\\ \end{aligned} \] 满足， \[ \begin{aligned} u(ax+y)=au(x)+u(y),\ a\in\mathbb{K} \end{aligned} \] 称\(u\)为线性算子。显然，积分和微分这两种运算都是线性算子。

记\(\mathcal{L}(E,F)\)为从\(E\)到\(F\)的所有线性映射组成的集合。

有界线性映射

设\(E,F\)为数域\(\mathbb{K}\)上的两个赋范空间，若映射\(u\)为线性映射且满足， \[ \|u(x)\| \leqslant C\|x\|,\ \forall x\in E \] 则称\(u\)有界。

记\(\mathcal{B}(E,F)\)为从\(E\)到\(F\)的所有有界线性映射组成的集合。

基本性质

设 \(E\) 和 \(F\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的两个赋范空间, \(u \in \mathcal{L}(E, F)\) , 那么下面命题等价: (1) \(u\) 在 \(E\) 上连续. (2) \(u\) 在某一点连续. (3) \(u\) 在原点连续. (4) 存在 \(C \geqslant 0\) , 使得 \(\forall x \in E\) , 有 \(\|u(x)\| \leqslant C\|x\|\) .

Proof \((1)\Rightarrow(2)\) 显然。

\((2)\Rightarrow(3)\) 设\(u\)在\(x_0\)处连续，\(\forall\epsilon>0\)存在半径为\(r\)的开球\(B(x_0,r)\)，使得 \[ ||u(x)-u(x_0)||\leq\epsilon,\ \forall x\in B(x_0,r) \] 取任意\(y\in B(0,r)\)，有\(y+x_0\in B(x_0,r)\)，于是有， \[ ||u(y)||=||u(x_0+y)-u(x_0)||\leq\epsilon \] 故在原点连续。

\((3)\Rightarrow(4)\) 设\(u\)在原点处连续，取\(\epsilon=1\)存在半径为\(r_0\)的开球\(B(0,r_0)\)，使得 \[ ||u(x)||\leq 1,\ \forall x\in B(0,r_0) \] 那么任取\(y\in E\)，有\(r_0\frac{y}{||y||}\in B(0,r_0)\)，于是 \[ ||u(r_0\frac{y}{||y||})||\leq 1\Rightarrow ||u(y)||\leq\frac{||y||}{r_0},\forall y\in E \] 令\(C=\frac{1}{r_0}\)即可。

\((4)\Rightarrow(1)\) 任取\(x-y\in E\),于是有， \[ ||u(x)-u(y)||\leq C||x-y|| \] 即\(u\)是Lipschitz连续的，那么必连续。