Cauchy列的几个性质

1. 若\((x_n)\)为收敛序列，则必为柯西列。
2. 若\((x_n)\)为柯西列且有收敛子列，则该序列收敛。
3. 柯西列必有界。

Proof 以下讨论默认在度量空间\((E,d)\)下。

（1）设\(\lim_{n\to\infty}x_n=x\)，即（极限定义）， \[ \forall\epsilon>0,\exists N,s.t. n\geq N,d(x_n,x)\leq\epsilon \] 那么对于任意的\(m,n\leq N\)， \[ d(x_m,x_n)\leq d(x_m,x)+d(x,x_n)\leq2\epsilon \] 故\((x_n)\)为柯西列。

（2）设\((x_{n_k})\)是柯西列\((x_n)\)的收敛子列，设\(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0\)，即（极限定义），

\[ \forall\epsilon>0,\exists K,s.t. k\geq K,d(x_{n_k},x_0)\leq\epsilon \] 又\((x_n)\)为为柯西列，由柯西列的定义， \[ \forall p\in\mathbb{N}^+\ \forall\epsilon>0,\exists N,\ s.t. n\geq N,d(x_{n+p},x_n)\leq\epsilon\quad \] 因此取\(n\geq N, p\geq n_K-n\), \[ d(x_n,x_0)\leq d(x_n,x_{n+p})+d(x_{n+p},x_0)\leq 2\epsilon \]

故\((x_n)\)收敛。

（3）设\((x_n)\)为为柯西列。取\(\epsilon=1\) \[ \exists N,\ s.t. n,m\geq N,d(x_n,x_m)\leq1 \] 即，当\(n>N\)时， \[ d(x_n,x_N)\leq 1 \] 取 \[ M=\max\{\max_{1\leq k\leq N}(d(x_k,x_N)),1\} \] 则对任意的\(n\)，有\(d(x_n,x_N)\leq M\)，故有界。