在很多数学分支中，比如金融数学中（应该），压缩映射的不动点定理都是很基本的一个定理。 但是其证明并不是很难，今天的深夜食堂就分享不动点定理的证明。

定理内容 设\((E,d)\)是完备的度量空间，\(f:E\to E\)是压缩映射，则\(f\)有唯一的不动点，即 \[ f(x)=x,\quad\exists ! x\in E \]

注：\(\quad\exists !\) 表示"存在唯一的"

Proof 压缩映射的定义就是指满足：\(\exists\lambda <1,\forall x,y\in E\),总有
\[ d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y) \] 的映射\(f\)，称为压缩映射。

下面开始证明， 取一点列\((x_n)\)，其中\(x_1\)为\(E\)中任意一点，其余点满足 \[ f(x_{n-1})=x_n \] 由于\(f\)是压缩映射，可知存在\(\lambda<1\)使得， \[ d(x_n,x_{n-1})=d(f(x_{n-1}),f(x_{n-2}))\leq\lambda d(x_{n-1},x_{n-2})\leq\cdots\leq\lambda^{n-2}d(x_2,x_1) \] 那么对任意的\(p\in\mathbb{N}\)有， \[ d(x_{n+p},x_n)\leq d(x_{n+p},d_{n+p-1})+\cdots+d(x_{n+1},x_n)\leq(\lambda^{n+p-2}+\cdots+\lambda^{n-1})d(x_2,x_1) \] 因为\(\lambda<1\)，所有当\(n\to\infty\) 时， \[ d(x_{n+p},x_n)\to 0 \] 故\((x_n)\)是Cauchy序列。由于\(E\)是完备的，故其上柯西列收敛，设其收敛于\(x\)，于是， \[ f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x \] 不动点的存在性得证。

下面证明唯一性。 设\(x,y\)都是不动点，那么 \[ d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y),\quad\lambda<1 \] 因此必有\(x=y\)，唯一性得证。