Riesz 引理

在证明之前，需要知道一个引理。

设赋范空间\((E,||\cdot||)\)，\(F\)是\(E\)的一个闭的线性子空间，且\(F\neq E\)，那么任取\(1>\epsilon>0\)，存在\(e\in E\)，满足\(||e||=1\)且\(d(e.F)\geq 1-\epsilon\) 。

Proof

因为\(F\neq E\)，所以存在\(x\in E\backslash F\)，记\(x\)到\(F\)的距离为\(d\)， \[ d=d(x,F)=\inf\{||x-y||:\forall y\in E\} \] 因为\(F\)是闭的，所以\(d>0\)，否则， \[ \exists x_n\in F,s.t.||x-x_n||\to 0 \] 又\(F\)是闭的，则有\(x\in F\)，这与\(x\in E\backslash F\)矛盾。

任取\(1>\epsilon>0\),可取一点\(y\in F\)，使得（这是由下确界定义得到） \[ d\leq||x-y||\leq\frac{d}{1-\epsilon} \] 设 \[ e=\frac{x-y}{||x-y||} \] 则\(e\)为\(E\)中单位向量且\(e\notin F\) ,任取一点\(z\in F\)，有， \[ \begin{aligned} ||e-z||&=||\frac{x-y}{||x-y||}-z||\\ &=\frac{1}{||x-y||}||x-y-||x-y||z||\\ &\geq\frac{1}{\frac{d}{1-\epsilon}}d=1-\epsilon \end{aligned} \] 这样我们就找到了满足条件的单位向量\(e\)。

有限维的充要条件（Riesz 定理）

设赋范空间\((E,||\cdot||)\)，则\(E\)是有限维度的充分必要条件是赋范空间\((E,||\cdot||)\)上的闭单位球是紧的。

Proof 必要性可以用23.5.23 有限维空间所有范数等价中的定理保证。

下面证明充分性。 假设\(E\)是无穷维的，首先记\(E\)中的单位向量\(x_1\)，并设 \[ F_1=\mathbb{K}x_1=\{\lambda x_1:\lambda\in\mathbb{K}\} \] 则\(F_1\)是\(x_1\)生成的向量子空间，且\(\dim F_1=1\)，由于有限维线性赋范空间总是完备的，所以\(F_1\)是\(E\)的完备子空间，完备的子空间是闭的，所以\(F\)是\(E\)的闭向量子空间。又因为\(E\)是无穷维的，所以\(E\neq F\)，那么由上面的引理可得，存在单位向量\(x_2\in E\)，满足 \[ ||x_2||=1,\quad d(x_2,F_1)\geq 1-\frac{1}{2} \] 于是， \[ ||x_1-x_2||\geq\frac{1}{2} \] 记由\(F_2=span\{x_1,x_2\}\)，且\(\dim F_2\leq 2\)，所以\(E\neq F_2\)， 同理可得\(x_3\in E\)，满足 \[ ||x_3||=1,\quad d(x_3,F_2)\geq \frac{1}{2} \] 如此反复，我们得到了单位球面上的序列\((x_n)\)，其元素两两之间的距离 \[ d(x_i,x_j)\geq \frac{1}{2},\forall i,j\in\mathbb{N}^+ \] 故\((x_n)\)没有收敛子列，这与单位球面是紧的（充分性假设）矛盾。于是假设不成立，\(E\)只能是有限维的。