什么是范数等价

设\(p,q\)为向量空间\(E\)上两个范数，如果存在常数\(m,M>0\)使得，

\[ mp(x)\leq q(x)\leq Mp(x),\forall x\in E \]

则称范数\(p\)和\(q\)等价。

有限维向量空间上所有范数都等价

定理内容

设\(E\)为数域\(\mathbb{K}\)上的有限维向量空间，那么其上所有范数都等价。

Proof

其证明是通过建立任意有限维向量空间与\(n\)维的欧式空间同构关系得到的。

设空间的维数为\(\dim E=n\), 并设\(e_1,\cdots,e_n\)为\(E\)的一组基，那么\(\forall x\in E\)，有

\[ x=\sum_{k=1}^nx_ke_k,\quad(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{K}^n \]

于是得到\(\mathbb{K}^n\)到\(E\)上的双射，\(\Phi:(x_1,\cdots,x_n)\to x\) 。

设\(p(\cdot)\)为\(E\)上的任一范数，由范数的三角不等式得，

\[ p(x)\leq \max_{1\leq k\leq n}|x_k|\sum_{k=1}^np(e_k)\leq||(x_1,\cdots,x_n)||_{\infty}M,\quad M=\sum_{k=1}^np(e_k) \]

那么对任意的\(\Phi:(x_1,\cdots,x_n)\to x\)，\(\Phi:(y_1,\cdots,y_n)\to y\)，有

\[ p(x-y)\leq M||(x_1-y_1,\cdots,x_n-y_n)||_{\infty} \]

因此得到的\(\varphi(\cdot)=p(\Phi(\cdot))\)是\((\mathbb{K},||\cdot||_{\infty})\) 上的连续实值函数，

\[ \varphi:(\mathbb{K},||\cdot||_{\infty})\to [0,+\infty],\quad (x_1,x_2,\dots,x_n)\to p(x)=p(\Phi(x_1,x_2,\dots,x_n)) \] 取\(S\)为\(\mathbb{K}\)上的单位闭球，\(S\)有界且自列紧，\(\varphi\)是连续实值函数，故\(\varphi\)可在\(S\)上取得最小值，记为\(m\)，即 \[ \varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)\geq m,\quad\forall (x_1,x_2,\dots,x_n)\in S \] 对于\(\forall x\in E\)且\(x\neq 0\),对应有 \[ (x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb{K},\quad \frac{(x_1,x_2,\dots,x_n)}{||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty}}\in S \] 于是有， \[ \varphi(\frac{(x_1,x_2,\dots,x_n)}{||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty}})=p(\Phi(\frac{(x_1,x_2,\dots,x_n)}{||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty}}))=p(\frac{x}{||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty}})\geq m \] 即得， \[ p(x)\geq m||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty} \] 综上所述， \[ m||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty}\leq p(x)\leq M||x_1,x_2,\dots,x_n||_{\infty},\quad \forall x\in E \] 由此可得，\(E\)上所有范数都等价。