定理内容

赋范空间\((E,||\cdot||)\)是完备的，等价于此空间中的绝对收敛级数必收敛。

Proof \((\Leftarrow)\) 任取该空间中Cauchy列\((x_n)\)，可以选择子列\((x_{n_k})\)满足， \[ ||x_{n_{k+1}}-x_{n_k}||\leq2^{-k} \] 那么可以知道（柯西判别法），数项级数， \[ \sum_{k\geq1}||x_{n_{k+1}}-x_{n_k}|| \] 是收敛的，即，级数 \[ \sum_{k\geq1}(x_{n_{k+1}}-x_{n_k}) \] 绝对收敛。由充分性假设（空间中的绝对收敛级数必收敛），可得，级数 \[ \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\sum_{k\geq1}(x_{n_{k+1}}-x_{n_k}) \] 是收敛的，即子列\((x_{n_k})\)收敛。故而原柯西列也是收敛的，即证明了空间完备。

\((\Rightarrow)\) 设级数 \[ \sum_{k\geq1}x_k,\quad S_n=\sum_{k=1}^nx_k \] 是绝对收敛的，那么， \[ ||S_{n+p}-S_n||=||\sum_{k=n+1}^{n+p}x_k||\leq\sum_{k=n+1}^{n+p}||x_k||\to0,\forall n,p\in\mathbb{N}^+ \] 即\((S_n)\)为\(E\)中Cauchy列，由于必要性假设（空间是完备的），故空间中的Cauchy列收敛，\((S_n)\)收敛，也就是级数 \[ \sum_{k\geq1}x_k \] 是收敛的。