写在开始

很多人在高中接触到这几个不等式的时候可能会想凭什么这几个有点晦涩的不等式要被称作重要不等式。笔者认为，主要是高中阶段的竞赛书并没有给出\(L^p\)空间这样一个清晰的背景，"重要"一词又显得过于宽泛才造成的这个疑惑。

实际上，三个不等式中最重要的应该是Minkowski不等式，这个不等式说明了\(L^p\)空间在\(1\leq p\leq \infty\)时可以成为一个赋范空间（有范数，p范数），在\(0<p<1\)时可以成为一个度量空间（没有范数但是可以引入度量，p范数的p次幂），因此，称这个不等式是\(L^p\)空间的基石也不为过。另外两个不等式是证明Minkowski不等式的脚手架，但也各有用处，比如Holder不等式是研究\(L^p\)空间对偶关系的重要工具。（以上为个人想法，不喜勿喷）

Young 不等式

\[ xy\leq\alpha x^\frac{1}{\alpha}+\beta y^\frac{1}{\beta} \] 其中， \[ x,y\geq0,\quad\alpha+\beta=1，1\geq\alpha,\beta\geq 0 \]

Proof 利用指数函数的凸性即可证明， \[ \alpha e^{\frac{1}{\alpha}\ln x}+\beta e^{\frac{1}{\beta}\ln y} \] 令， \[ s=\frac{1}{\alpha}\ln x,t=\frac{1}{\beta}\ln y \] 则， \[ x=e^{\alpha s},y=e^{\beta t},\quad xy=e^{\alpha s+\beta t} \] \[ \alpha e^{\frac{1}{\alpha}\ln x}+\beta e^{\frac{1}{\beta}\ln y}=\alpha e^s+\beta e^t \] 由指数函数的凸性即得， \[ xy=e^{\alpha s+\beta t}\leq\alpha e^s+\beta e^t=x^\frac{1}{\alpha}+\beta y^\frac{1}{\beta} \]

另外，如果令， \[ \alpha=\frac{1}{p},\beta=\frac{1}{q},\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \] 不等式就变成了， \[ xy\leq\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q} \] 我们把p, q称作共轭数，表示他们两的倒数的和为1。

Holder 不等式

\[ ||f\cdot g||_r\leq||f||_p\cdot||g||_q \] 其中， \[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r},\quad 0< p,q\leq\infty \] \[ f\in L^p(\Omega),g\in L^q(\Omega) \]

Proof 若 \[ p,q=\infty \] 或者 \[ p=\infty,q\neq\infty;q=\infty,p\neq\infty \] 只需要利用无穷范数（本性上确界）的定义说明即可。

重点说明 \[ p,q\neq\infty \] 的情况。

由Young不等式得，注意\(\frac{r}{p}+\frac{r}{q}=1\), \[ \begin{aligned} \int_{\Omega}|fg|^rd\mu&=\int_{\Omega}|f|^r|g|^rd\mu\leq\int_{\Omega}\frac{r}{p}|f|^{r\frac{p}{r}}+\frac{r}{q}|g|^{r\frac{q}{r}}d\mu\\ &=\frac{r}{p}||f||_p^p+\frac{r}{q}||g||_q^q \end{aligned} \] 若 \[ ||f||_p\leq 1,\quad||g||_q\leq 1 \] 则有， \[ \int_{\Omega}|fg|^rd\mu\leq\frac{r}{p}||f||_p^p+\frac{r}{q}||g||_q^q\leq\frac{r}{p}+\frac{r}{q}=1 \] 对于一般情形，即 \[ ||f||_p>0,\quad||g||_q>0 \] 我们令， \[ F=\frac{f}{||f||_p},\quad G=\frac{g}{||g||_q} \] 显然\(||F||_p\leq1,||G||_q\leq1\),所以， \[ \int_{\Omega}|FG|^rd\mu=\int_{\Omega}|\frac{f}{||f||_p}\frac{g}{||g||_q}|^rd\mu\leq1 \] 即， \[ \int_{\Omega}|fg|^rd\mu\leq||f||_p^r||g||_q^r \] \[ ||fg||^r_r\leq||f||_p^r||g||_q^r \] \[ ||fg||_r\leq||f||_p||g||_q \] 命题得证。

Minkowski 不等式

\[ ||f+g||_p\leq||f||_p+||g||_p\quad 1\leq p\leq\infty,f,g\in L^p(\Omega) \]

Proof 设p,q为一对共轭数，由Holder不等式得， \[ \begin{aligned} \int_{\Omega}|f+g|^pd\mu&\leq\int_{\Omega}(|f|+|g|)|f+g|^{p-1}d\mu\\ &=\int_{\Omega}|f|\cdot|f+g|^{p-1}d\mu+\int_{\Omega}|g|\cdot|f+g|^{p-1}d\mu\\ &\leq||f||_p||(f+g)^{p-1}||_q+||g||_p||(f+g)^{p-1}||_q\quad(Holder) \end{aligned} \] 注意， \[ ||(f+g)^{p-1}||_q=(\int_{\Omega}(|f+g|^{p-1})^q d\mu)^{\frac{1}{q}},\quad q=\frac{p}{p-1} \] \[ ||(f+g)^{p-1}||_q=(\int_{\Omega}(|f+g|^p d\mu)^{\frac{p-1}{p}}=||f+g||_p^{p-1} \] 于是， \[ \begin{aligned} ||f+g||_p^p=\int_{\Omega}|f+g|^pd\mu&\leq||f||_p||(f+g)^{p-1}||_q+||g||_p||(f+g)^{p-1}||_q\quad(Holder)\\ &=||f||_p||f+g||_p^{p-1}+||g||_p||f+g||_p^{p-1}\\ &=(||f||_p+||g||_p)||f+g||_p^{p-1} \end{aligned} \] 故有， \[ ||f+g||_p\leq||f||_p+||g||_p \]