Parserval恒等式 设\(H\)是Hilbert空间，\((e_n)_{n\geq 1}\)是\(H\)中的规范正交基，则对任意\(x\in H\)，有， \[ \sum_{n=1}^{\infty}|\langle x, e_n \rangle|^2=||x||^2 \] 更一般地，\(x，y\in H\)，有， \[ \langle x, y \rangle=\sum_{n=1}^{\infty}\langle x, e_n \rangle\langle e_n, y \rangle \]

Proof 由Bessel不等式的证明过程可以发现，23.5.18 Bessel不等式与Parserval恒等式 \[ \begin{aligned} ||x-\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k||^2&=||x||^2-\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle^2 \end{aligned} \] 即， \[ \begin{aligned} ||x||^2-||x-\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k||^2&=\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle^2 \end{aligned} \] 我们先从直观感觉上看一下下面这个式子， \[ \sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k \] 由于定理条件\((e_n)_{n\geq 1}\)是\(H\)中的规范正交基，\(\langle x, e_k \rangle\)相当于\(x\)在\(e_k\)上的投影，设\(E_n=span\{e_1,\cdots,e_n\}\),那么 \[ P_{E_{n}}(x)=\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k\quad x\in H \] 即这个式子表达的含义为\(x\)在\(E_n\)上的投影,也就是\(P_{E_n}(x)\)，同时还注意到， \[ ||P_{E_n}(x)||^2=\langle P_{E_n}(x),P_{E_n}(x) \rangle=\langle\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k,\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k \rangle \] 即有， \[ ||P_{E_n}(x)||^2=\sum_{k=1}^{n}|\langle x, e_k \rangle|^2 \] 于是原来得到的恒等式就变成了， \[ \begin{aligned} ||x||^2-||x-P_{E_n}(x)||^2&=||P_{E_n}(x)||^2 \end{aligned} \] 这样一来这个等式就更“清晰”了，因为它有着很“直观的”几何意义，有点类似于勾股定理：

投影的长度^{2=向量长度}2+(向量长度-投影长度)^2

这件事情在二维和三维空间上都是很直观的。这个恒等式也说明了在更高维度空间这件事情也是存在的。

但是实际上，上面的论证是很不严谨的，因为我们一开始并没有严格的给出投影的定义，仅从直观的角度出发去想象这样一个事实，由于严格论证需要很大篇幅，不符合我写这个专栏的目的相悖，今后可能会补充说明有关投影的事实，但今天的证明就先承认上面的等式。

下面回归正题，要证明这个恒等式，实际上就是要证明当n趋于无穷大时， \[ ||x-P_{E_n}(x)||^2\to 0 \] 或者说，\(x\)在\(E_n\)上的投影是依范数收敛到\(x\)的，这其实在二维，三维情形上是很直观的事实。

由于\((e_n)_{n\geq 1}\)是\(H\)中的规范正交基，即这个序列张成的线性空间在\(H\)中是稠密的，于是有 \[ \forall \epsilon>0\forall x\in H,\exists y\in span\{e_1,\cdots,e_n\}=E,\quad s.t. ||x-y||\leq\epsilon \] 因而， \[ ||x-P_{E_n}(x)||\leq||x-y||+||y-P_{E_n}(y)||+||P_{E_n}(y)-P_{E_n}(x)|| \] 由于投影算子是常数为1的Lipschitz映射，即(这个性质以后会证明) \[ ||P_{E_n}(y)-P_{E_n}(x)||\leq 1\cdot||x-y|| \] 所以有， \[ ||x-P_{E_n}(x)||\leq2||x-y||+||y-P_{E_n}(y)||\leq 2\epsilon+||y-P_{E_n}(y)|| \] 而对\(y\in span\{e_1,\cdots,e_n\}=E\),存在\(N\geq 1\)和一系列数\(\alpha_i,i=1,\cdots,N\)使得， \[ y=\sum_{i=1}^{N}\alpha_ie_i \] 则有， \[ P_{E_N}(y)=\sum_{i=1}^{N}\langle y, e_k \rangle e_i=\sum_{i=1}^{N}\langle \sum_{i=1}^{N}\alpha_ie_i, e_i \rangle e_i=\sum_{i=1}^{N}\alpha_ie_i=y \] 因此，当\(n\geq N\)时，就有， \[ ||x-P_{E_n}(x)||\leq 2\epsilon+||y-P_{E_n}(y)||=2\epsilon \] 也就有了 \[ \limsup_{n\to\infty}||x-P_{E_n}(x)||=0 \] 故， \[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(||x||^2-||x-P_{E_n}(x)||^2)&=\lim_{n\to\infty}||P_{E_n}(x)||^2\\ ||x||^2+0&=||P_{E}(x)||^2\\ \end{aligned} \] 即， \[ ||x||^2=||\sum_{n=1}^{\infty}\langle x,e_n\rangle e_n||^2 \] 这就是Parserval恒等式。

注意，上面取极限的过程用到了范数的连续性，并且\(E=\cup_{n=1}^{\infty}E_n\) 。 尽管补充了这些，但其实证明还是不严谨的，因为，我们并没有说明，极限 \[ \lim_{n\to\infty}P_{E_n}(x) \] 是一定存在的，且它的极限就等于\(x\)在\(E\)上的投影，这些事实看似显然或者不显然，但都是需要论证的，碍于篇幅，以后有机会再补充。

至于下边的那个等式的证明其实很简单，但是因为为了简化上面恒等式省略了很多篇幅，导致说明起来不那么容易，这其实也是追求直观感受的“代价”吧。还是有机会再补充。

不过这里也可以提示一下，如果承认了下面事实 \[ x=\lim_{n\to\infty}P_{E_n}(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\langle x,e_i\rangle e_i \] 等式是不是显然成立的？

另外，Parserval最常见的使用场景是再Fourier级数上，定义平方可积空间上的内积，我们就得到了经常可以看到的Parserval恒等式。 \[ \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(x)|^2dx \]