定理 设 \(E\) 为Banach空间， \(F\) 为赋范空间，\((u_i)_{i\in I}\) 为一族从\(E\)到\(F\)的有界线性算子，即\((u_i)_{i\in I}\subset \mathcal{B}(E,F)\)。若对\(E\)中任意点\(x\)，有\(\sup_{i\in I}\vert\vert u_i(x)\vert\vert <\infty\) ，则有

\[ \sup_{i\in I}\vert\vert u\vert\vert <\infty \]

即算子族 \((u_i)_{i\in I}\) 在 \(\mathcal{B}(E,F)\)在有界，该算子族是有界集。

proof 证明前先说点别的，这个定理（命题）的逆否命题又叫做“共鸣定理”。Banach-Steinhaus 定理通常也称作“一致有界原理”，而这个定理的发现者称他为 principal of concentration of singularity （奇性聚集定理），也就是似乎它的发现者也是从这个命题的反向来理解的，总之这个命题的逆否命题是很重要的。比如，我们可以用来它说明Fourier级数的发散。下面回归正题：

设 \[ M(x)=\sup_{i\in I}||u_i(x) || \] \[ F_n=\{x\in E:M(x)\leq n\} \] 由\(u_i\)连续可知， \[ \{x\in E:||u_i(x) ||\leq n\} \] 是\(E\)中闭集，那么， \[ F_n=\bigcap_{i\in I}\{x\in E:||u_i(x) ||\leq n\} \] 也是闭集。 由定理假设，\(\forall x\in E\)，有\(M(x)<\infty\) ，因此，对任意\(x\)必定属于某个\(F_n\) 于是有， \[ E=\bigcup_{n\geq 1}F_n \] 由Baire定理，\(E\)是Banach空间，故\(E\)是Baire空间。由Baire空间的性质可知， \(\bigcup_{n\geq 1}\mathring{F_n}\) 在\(E\)中稠密，故存在某个\(n\)，使得\(\mathring{F_n}\neq\varnothing\) 。因此存在开球\(B(x_0,r)\subset\mathring{F_n}\) 即对\(\forall x\in B(x_0,r)\) 有， \[ M(x)=\sup_{i\in I}||u_i(x) ||\leq n \] 等价地，若\(\forall x\in B(0,r)\) 有， \[ M(x+x_0)=\sup_{i\in I}||u_i(x+x_0) ||\leq n \] 于是，由线性算子的线性， \[ ||u_i(x+x_0-x_0)||\leq||u_i(x+x_0||+||u_i(x_0)||\leq n+M(x_0) \] 还是因为线性，对\(\forall x\in B(0,1)\) \[ ||u_i(x)||\leq \frac{n+M(x_0)}{r}=Constant \] 故，\(\sup_{i\in I}\vert\vert u\vert\vert <\infty\)。