在调和分析、偏微分方程和量子力学中自然出现的许多空间是 Hilbert空间。容易看到，Hilbert空间是欧氏空间从有限维到无限维最直接的抽象和推广。Hilbert空间的出现和 Fourier 级数理论的发展密切相连，Fourier 变换为我们在本章将要研究的共轭理论和正交展开理论提供了无限维情形下最直接的例子. # 内积空间 ## 定义 ### 内积 - 线性（注意复数域的情况） - 对称（复数域注意是共轭对称） - 非负 ### Hilbert空间 设\(H\)为内积空间，定义范数(验证这个定义符合范数定义)

\[ ||x||=<x,x>^{\frac{1}{2}} \]

称此范数为内积诱导的范数，\(H\)成为赋范空间，如果这个范数完备，则称\(H\)为Hilbert空间。 ## 例子 ### 常见内积空间 ### 常见Hilbert空间 ## 定理 ### Cauchy-Schwarz 不等式 设\(H\)为数域\(\mathbb{K}\)上的内积空间，则对任意的\(x,y\in H\)有，

\[ |<x,y>|^2\leq<x,x><y,y> \]

等号成立当且仅当x,y成比例。 变形：\(\left<x,y\right>\leq||x||||y||\) proof：（利用二次函数判别式）

\[ \forall\lambda\in\mathbb{K},\left<x+\lambda y,x+\lambda y\right>\geq 0 \]

复数域时，取\(\lambda=t\cdot?\) ### 极化恒等式 设\(H\)为数域\(\mathbb{K}\)上的内积空间，那么 - \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)，则

\(<x,y>=\frac{1}{2}(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2)\) - \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)，则

\(<x,y>=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^3i^k||x+i^ky||^2\)

proof:由定义展开验证。 注：由极化恒等式可以验证，两个内积空间中的线性等距映射\(u:H\to K\)是保内积的。即， \[ <u(x),u(y)>=<x,y> \]

平行四边形公式

设\(H\)为内积空间，\(\forall x,y\in H\)有，

\[ ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2) \]

或者,

\[ \frac{1}{2}(||x+y||^2+||x-y||^2)=||x||^2+||y||^2 \]

范数可以由内积导出

设\(H\)为赋范空间，如果范数满足平行四边形公式，那么范数可以用内积导出，也即\(H\)可以成为内积空间。

proof：证明分四步。设内积如下（只证明实数域情形，内积实际就是先设极化恒等式），

\[ \left<x,y\right>=\frac{1}{2}(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2) \]

• \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\) (1)非负、对称性显然。 (2)下证线性。
• \(\left<x,2y\right>=2\left<x,y\right>\)
• \(\left<x+x',y\right>=\left<x,y\right>+\left<x',y\right>\)
• \(\lambda\in\mathbb{Q},\left<\lambda x,y\right>=\lambda\left<x,y\right>\)
• \(\lambda\in\mathbb{R},\left<\lambda x,y\right>=\lambda\left<x,y\right>\) # 投影算子 ## 定义 ### 正交和正交补 设\(H\)为内积空间，若\(\left<x,y\right>=0,x,y\in H\)则称\(x\)与\(y\)正交(\(x\bot y\))。若\(A\subset H\),称

\[ A^{\bot}=\{x\in H:x\bot y,\forall y\in A\} \]

为A再H中的正交补。 注： 1. \(x\bot y\Rightarrow ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2\) 2. 定义夹角：\(\cos\theta=\frac{Re\left<x,y\right>}{||x||||y||},x,y\neq 0\) 3. 由内积连续性可知，对任意 \(A \subset H\), \(A^{\perp}\) 是 H 的闭向量子空间, 并有

\[ A^{\perp}=(\bar{A})^{\perp}=(\operatorname{span} A)^{\perp}=(\overline{\operatorname{span} A})^{\perp} \]

定理

投影定理

设\(H\)为Hilbert空间，\(C\)是\(H\)的非空闭凸子集，那么， - 对任意\(x\in H\)存在唯一的\(y\in C\)使得 \[ ||x-y||=d(x,C)=\inf_{y\in C}d(x,y) \] 则称 \(y\) 是\(x\)在\(C\)上的投影，记作\(P_C(x)\). - 设\(y\in H\),则\(y=P_C(x)\Leftrightarrow Re\left<x-y,z-y\right>\leq 0,\forall z\in C\) - 映射\(x\to P_C(x)\)是常数为1的Lipschitz映射，即

\[ ||P_C(x)-P_C(x')||\leq||x-x'|| \]

• \(P_C\circ P_C=P_C\)且\(P_C(H)=C\),即投影算子是幂等算子。

proof：（1.下确界定义 Cauchy列 完备性 平行四边形公式）（2.取凸组合）（3.用2的结论和Cauchy不等式）（4. 定义） 注：证明只用到C的完备性.因此,若H是任意内积空间且C是完备的凸集，则定理的结论也成立.

当上面定理的凸集C是向量子空间时,其投影有下面的简单刻画

设\(H\)为Hilbert空间，\(E\)为\(H\)的闭的向量子空间。那么任意\(x\in H\)，它的投影\(P_E(x)\)是\(E\)中满足\(x-y\perp E\)的唯一元素\(y\)，并且\(P_E\)是\(H\)到\(E\)的线性算子，\(||P_E||\leq 1\)。 proof：投影定理的第二条、第三条 ### 正交分解 设 \(H\) 是 Hilbert 空间, \(E\) 是 \(H\) 的向量子空间, 则有

\[ H=\bar{E} \oplus E^{\perp} \]

也就是说, 任取 \(x \in H\) , 存在唯一的分解 \(x=y+z\) , 这里 \((y, z) \in \bar{E} \times E^{\perp}\) , 并有

\[ \|x\|^{2}=\|y\|^{2}+\|z\|^{2} \]

proof:书中唯一性证明好像有误。

推论：设 \(H\) 是 Hilbert 空间, \(E\) 是 \(H\) 的向量子空间, 则有

\[ (E^{\perp})^{\perp}=\bar{E} \]

proof：（提示：\(x\in E^{\perp},P_E(x)=0\),E为向量空间） # 对偶和共轭 !!! 一般来说,我们很难描述一个赋范空间的对偶空间.Riesz表示定理说明Hilbert空间的对偶空间是它本身. ## 定义 ### 酉算子 映射 \(u \in \mathcal{B}(H)\) 被称为酉算子, 若 \(u^{*} u=u u^{*}=\mathrm{I}_{H}\). 注：\(\mathcal{B}(H)\)在所有酉算子构成一个群。 ## 定理 ### Riesz 表示定理 设\(H\)为数域\(\mathbb{K}\)上的Hilbert空间，那么\(\varphi:H\to\mathbb{K}\)是一个连续线性泛函的充要条件是存在向量\(y\in H\)，使得

\[ \varphi(x)=\left<x,y\right>,\forall x\in H \]

而且如此得到的向量\(y\)是唯一的且满足\(||y||=||\varphi||\) proof: 注:定理结论表明了 ### 伴随算子 设\(H,K\)为两个的Hilbert空间，\(u\in\mathcal{B}(H,K)\)，那么存在唯一的\(u^*\in\mathcal{B}(K,H)\)使得，

\[ \left<u^*(x),y\right>=\left<x,u(y)\right>,\forall x\in K,\forall y\in H \]

并且\(||u||=||u^*||\).称\(u^*\)为\(u\)的伴随。 proof： 注：有如下几个结论 - \((u^*)^*=u,u\in \mathcal{B}(H,K)\) - 123 - 123阿巴阿巴

正交基

这节将证明任一Hilbert空间均有正交基，这是Hilbert空间特有的性质;正交基是处理Hilbert空间的有效工具. ## 定义 设\(H\)为Hilbert空间。 - 向量族的正交 两两正交。 - 规范正交 两两正交且各个向量的范数等于1。 - 完全的 向量族的线性扩张（\(span\{(e_i)_{i\in I}\}\),\(I\)指标集）在\(H\)中稠密。 - 规范正交基 \((e_i)_{i\in I}\)在\(H\)中规范正交且完全的，称为\(H\)的规范正交基。

定理

1

设 \(H\) 是 Hilbert 空间, \(\left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right)\) 是 \(H\) 中的规范正交序列, 令 \(E=\operatorname{span}\left(e_{1}, \cdots, e_{n}\right)\). 那么对任意 \(x \in H\), 有

\[ P_{E}(x)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, e_{i}\right\rangle e_{i} \]

且

\[ \|x\|^{2}=\left\|x-P_{E}(x)\right\|^{2}+\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle x, e_{i}\right\rangle\right|^{2} \]

2

设 \(H\) 是 Hilbert 空间, \(\left(e_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是 \(H\) 中的规范正交序列. 则 下面命题等价: (1) \(\left(e_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是完全的 (即 \(\left(e_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) 是 \(H\) 中的规范正交基). (2) 任取 \(x \in H\), 存在唯一的序列 \(\left(x_{n}\right) \subset \mathbb{K}\), 使得级数 \(\sum_{n \geqslant 1} x_{n} e_{n}\) 收敛到 \(x\). ### Bessel不等式 ### Parseval恒等式 ### Gram-Schmidt 正交化

任一可分的Hilbert空间具有一列(可为有限)规范正交基.

设\(H\)是可分的非零Hilbert空间，则\(H\)有规范正交基.(这里提醒:一个拓扑空间是可分的,若它有最多可数的稠密子集.)

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