Bernstein多项式

概念

形如：（QAQ）\(B_{i,n}(t)=C_{n}^{i}t^i(1-t)^{n-i},0\leq t \leq1\)的多项式，成为Bernstein多项式。

其实就是（QAQ）\(1=(t+1-t)^n\)的二项式展开式中的一项。

性质

• 单位分解性 （QAQ）\(\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}t^i(1-t)^{n-i}=(t+1-t)^n\equiv 1\)
• 非负性 （QAQ）\(B_{i,n}(t)\geq 0,\forall t\ \ 0\leq t \leq1\)
• 端点特性 （QAQ）\(B_{0,n}(0)=B_{n,n}(1)=1\) 对其他的有 （QAQ）\(B_{i,n}^{(k)}(0)=0,对0<i<n,k=0,1,\cdots,i-1\) （QAQ）\(B_{i,n}^{(k)}(1)=0,对0<i<n,k=0,1,\cdots,n-i-1\)
• 极大值 （QAQ）\(B_{i,n}(t)\)在（QAQ）\(t=\frac{i}{n}\)处达到（QAQ）\([0,1]\)上的最大值
• 递推性质 （QAQ）\(B_{i,n}(t)=tB_{i-1,n-1}(t)-(1-t)B_{i,n-1}(t)\)
• 对称性 （QAQ）\(B_{i,n}(t)=B_{n-i,n}(1-t)\)
• 导数 （QAQ）\(B_{i,n}^{'}(t)=n(B_{i-1,n-1}(t)-B_{i,n-1}(t))\)
• Bernstein多项式可构成多项式空间的一组基（选作基的好处） 相比幂基，Bernstein多项式作为基在端点处有更好的性质，并且基中的每一个项都是相同次数的。 用Bernstein多项式的单位分解性可以得到：幂基到B基的转换。

Bezier曲线

定义：给定有序点列（QAQ）\(\{P_i\},i=0,1,\cdots,n\)相应的n次Bezier曲线定义为: （QAQ）\(P(t)=\sum_{i=0}^{n}P_iB_{i,n}(t)\)（这是一个参数方程曲线，P可以是n维空间中的点）

几何系数（QAQ）\(\{P_i\}\)称为此Bezier曲线的控制点。控制点依次连接构成的多边形称为控制多边形。

bezier曲线的几何特性

• bezier曲线总是插值首末控制点 （QAQ）\(P(0)=P_0,P(1)=P_n\)

• 首末点处切天方向分别平行与邻近控制点确定的直线 即分别与（QAQ）\(P_1-P_0,P_n-P_{n-1}\)平行

• 伤射不变性（仿射变换又叫刚体变换，包括平移旋转对称），对控制点进行仿射变换，就是对曲线上所有点进行相同的变化，这表明曲线构造不依赖坐系选取。

• 凸包性，Bezier曲线总是在控制多边形控制点的凸包内。（确保了在图像终端的可见，可用于碰撞检测）（注意是控制点的凸包）

• 变差减缩性，任意直线于Bezier曲线的交点数量小于或等于该支线与控制多边形的交点数量。变差减缩性保证了曲线的震荡次数不会超过控制多边形的震荡次数。

• 保线性（可减少振荡）：如果控制点都在一条线上，则bezier曲线也是一条线。

Bezier曲线的运算

定义算子

等同算子（QAQ）\(\mathcal{I}:\mathcal{I}P_i=P_i\) 位移算子（QAQ）\(\varepsilon:\varepsilon P_i = P_{i+1}\) 差分算子（QAQ）\(\Delta:\Delta P_i=P_{i+1}-P_{i}\) （QAQ）\(\mathcal{L}:=(1-t)\mathcal{I}+t\varepsilon\)

求值和分割算法

定理（de Casteljau算法 德卡斯特里奥算法）给定任意n次的Bezier曲线（QAQ）\(P(t)=P_{n}\)

升阶算法

作用：可以把低于最高次数的曲线提高到最高次数从而获得一致的次数。

关于降阶

类比多项式，升阶是比较容易的，但是既要降阶又要保持原有性质，这显然是困难的。如下： \[ x^2=x^2(1-x+x) \] 但是怎么降到1次，似乎没有很好的办法。

对于Bezier曲线的降阶，可以分为准确降阶和近似降阶。一般情况的准确降阶是不可能的，近似降阶，一种方式可以利用升阶公式反演出一个公式（蒙了）；另一种方式可以在低维空间中寻找这个曲线的最佳逼近元素（最近一致逼近、最佳平方逼近……）

应该不会考（wu

光滑拼接

控制点增多时，曲线次数高计算量大，各个控制点的控制性减弱，为了避免这些缺点，我们可以将其分成几段再拼接起来。 但是简单的连接往往不能满足我们的需求，为此我们需要根据设计的需求，保持连接点位置连续、切矢连续或曲率连续。

开花

所谓开花的想法就是：把一个n次曲线表示成多变量的仿射对称多项式。

定义（仿射函数）

若函数（QAQ）\(f(x)\)对任意的（QAQ）\(a_1,\cdots,a_m\),（QAQ）\(t_1,\cdots,t_m\) 满足, \[ f(\sum_{i=1}^{m}a_it_i)=\sum_{i=1}^{m}a_if(t_i) \] 其中，（QAQ）\(\sum_{i=1}^{m}a_i=1\)，则称此函数是仿射的。

定义（多元仿射函数）

指对多元函数中的每个变量都是仿射的。

可以发现（能这样说吗？）仿射跟线性很像。

定义（对称多项式）

简单解释就是多元变量中任意两个变量交换位置不会改变函数的值。

开花定理

任意一元的n次多项式（QAQ）\(F(t)\)，存在唯一的n元仿射对称多项式（QAQ）\(f(t_1,\cdots,t_n)\),使得 （QAQ）\(F(t)=f(t,\cdots,t)\)。函数（QAQ）\(f(t_1,\cdots,t_n)\)称为（QAQ）\(F(t)\)的开花多项式（Blossom）

Proof： （存在性） （唯一性）